Правильное написание слова зависит от контекста, в котором оно используется, так как "домашнее" и "домашние" - это формы одного и того же прилагательного в разных падежах и числах.
Домашнее - это форма среднего рода единственного числа именительного падежа прилагательного "домашний". Например:
- Домашнее задание выполнено.
Домашние - это форма множественного числа именительного падежа того же прилагательного. Например:
- Домашние животные любят играть.
Выбор формы зависит от того, к какому существительному относится прилагательное и какое число и род у этого существительного.