В слове "тетрадке" используется предложный падеж. Предложный падеж отвечает на вопросы "о ком?", "о чем?", "где?" и часто используется для указания места или объекта, о котором идет речь.
В данном контексте "писать в тетрадке" подразумевает указание места, где происходит действие.
Формы предложного падежа обычно образуются с помощью предлогов "в", "на", "о", "об" и "при". В нашем случае используется предлог "в", который указывает на место действия. Основная форма слова "тетрадь" в именительном падеже преобразуется в "тетрадке" в предложном падеже, что соответствует правилам склонения существительных женского рода второго склонения.
Таким образом, предложный падеж в данном примере используется для того, чтобы показать, где именно происходит действие (писать), а именно — в тетрадке.