Сказуемое - это главная часть предложения, которая сообщает о действии или состоянии подлежащего. В русском языке виды сказуемого делятся на глагольное, именное и сложное.
1) Наступило новое утро - глагольное сказуемое, выражено сказуемым в форме глагола "наступило".
2) Девочка начала придумывать разные истории - глагольное сказуемое, выражено сказуемым в форме глагола "начала придумывать".
3) Гадкий утенок стал прекрасным лебедем - глагольное сказуемое, выражено сказуемым в форме глагола "стал".
4) Щенок стал весело бегать за собственным хвостом - глагольное сказуемое, выражено сказуемым в форме глагола "стал".
5) Пусть всегда будет солнце - именное сказуемое, выражено словосочетанием "пусть будет солнце".
6) Мама вернулась из поездки усталая - именное сказуемое, выражено прилагательным "усталая".
Таким образом, виды сказуемого в данных предложениях можно определить как глагольное и именное.