Слово "путь" пишется с мягким знаком, потому что в его корне стоит согласный звук "т", который перед мягкими гласными "е", "ё", "ю", "я" и согласными "и", "й" мягчится и становится звуком "ч". Таким образом, происходит образование мягкого знака в слове "путь", чтобы отразить этот фонетический процесс.